为了毕设开始学习留级流体力学( •̥́ ˍ •̀ )

然后发现研究生还要接着学……

流体的力学性质

流体力学采用连续介质模型，具有三个特点：质量连续，运动连续，内应力连续。也就是$\rho, \pmb{u}, \pmb{P}$为关于$(x, y, z, t)$的连续函数。

流体的力学特性包括：

• 流动性

• 可压缩性：体弹模量$E_V$和等温体积压缩系数$\beta_p$

  $$E_V=\frac{1}{\beta_p}=-V\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}$$

• 热胀性：等压热膨胀系数

  $$\beta_t=\frac 1 V\frac{\mathrm d V}{\mathrm d T}$$

• 粘滞性：表现为内摩擦力，许多流体满足牛顿粘流定律，对于速度场为$\pmb{u}=\pmb{u}(x, y, z, t)$的流体，在垂直于$y$向的平面上，切应力

  $$\tau_{yx}=-\mu\frac{\partial u_x}{\partial y}$$ 其中$\mu$为动力粘度，单位为$\mathrm{Pa\cdot s}$。液体粘度随温度升高而减小，气体粘度随温度升高而增加，对于液态合金液，共晶成分时粘度最低。定义运动粘度$\nu=\frac{\mu}{\rho}$，运动粘度是动量传输的度量，又称动量扩散系数。$\mu=0$则为理想流体。对于非牛顿流体，粘度与速度梯度有关，不是物性参数，因而不满足此定律。

推而广之，有粘度张量（与动量传输方程紧密相关）

$$\tau_{ij}=-\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla u\right)$$ 粘滞性的另一表现为无滑移条件，即流体与壁面无相对滑动。

• 表面张力：表面张力处处垂直于流体线并切于液面，$f=\sigma l$，其中$\sigma$为表面张力系数。对于曲面液面，会因此产生压力差 $$\Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$ $R_1,R_2$是通过曲面上一点的任意一对正交法切线的曲率半径（可证明对于确定的点而言是常数）。由此会产生毛细现象，对于直径$r$的毛细管，若液面与管壁夹角为$\theta$，则毛细管内页面高出外侧 $$h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$$

流体流动的基本概念

流场的描述

有两种描述流体运动的方法：

• 拉格朗日法，着眼于追踪流体质点。设$t_0$时刻流体质点位于$(a, b, c)$，则其运动轨迹可表示为

  $$\pmb{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=\pmb{r}(a,b,c,t)$$ 则流场的各种物理量都可表示成$(a,b,c,t)$的函数

• 欧拉法，着眼于确定空间点上的流体流动，采用速度场作为基础

  $$\pmb{u}=u_x\mathbf{i}+u_y\mathbf{j}+u_z\mathbf{k}=\pmb{u}(x,y,z,t)$$ 则流场的各种物理量都可表示成$(x,y,z,t)$的函数

两种方法可以互换：

• 拉$\to$欧：从$\pmb r=\pmb r(a,b,c,t)$反解出$(a,b,c)=\pmb r^{-1}(x,y,z,t)$，再带回$\phi=\phi(a,b,c,t)$
• 欧$\to$拉：从微分方程组$\pmb u=\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)=\pmb u(x,y,z,t)$解出$(x,y,z)=\pmb r(c_1,c_2,c_3,t)$，根据$t=t_0$时$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$确定积分常数$c_1,c_2,c_3$，再代回$\phi=\phi(x,y,z,t)$

质点导数

流体质点的物理量相对时间的变化率。对于拉格朗日法，物理量$\phi=\phi(a,b,c,t)$的质点导数就是$\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm d t}=\frac{\partial \phi}{\partial t}$，但是对于欧拉法不是。定义质点导数算子

$$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}=\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}}_{局部项}+\underbrace{u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}}_{对流项}=\frac{\partial}{\partial t}+(\pmb{u}\cdot\nabla)$$ 则物理量$\phi=\phi(x,y,z,t)$的质点导数为$\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t}$

例如对于加速度，局部项（当地加速度）

迹线和流线

流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。拉格朗日法即为迹线参数方程，从中消去$t$即为迹线方程；而欧拉法需要先换成拉格朗日法。

而流线如同电场线、磁感线，流线微分方程

$$\frac{\mathrm{d}x}{u_x}=\frac{\mathrm{d}y}{u_y}=\frac{\mathrm{d}z}{u_z}$$ 在积分时将$t$作为常数。在稳态流动条件下（$\frac{\partial \phi(x,y,z,t)}{\partial t}=0$），流线与迹线重合。

流线包围成的管状曲面称为流管，流管内所有流线组成流束，在流管上再做两截面$A_1,A_2$，则构成封闭曲面，在稳态条件下，总流体通量为0，类似于电场的高斯定理，管流具有连续性方程

$$Q=\iint_{A_1}\rho(\pmb u\cdot\mathrm{d}\pmb A)=\iint_{A_2}\rho(\pmb u\cdot\mathrm{d}\pmb A)$$ 对于工程中的实际管流，简化为 $$A_1 \rho_{1m}u_{1m}=A_2 \rho_{2m}u_{2m}$$ 其中$A$为管道横截面积，$\rho_m,v_m$为管道截面上流体平均密度和平均速度。

单位时间内，通过单位面积的流体所传递的动量的称为动量通量，为矢量，而动量通量乘面积即为动量率。$x$方向上的对流动量张量为$\rho v_x^2$，$yx$面上的粘性动量通量为$\tau_{yx}$。

流体的运动与变形

流体微元团的运动可分解为三种：

• 平移速度$\pmb u$

• 转动速度

  $$\begin{aligned} \pmb\omega&=\frac 1 2\mathrm{rot}\:\pmb v=\frac 1 2\pmb\nabla\times\pmb v\\ &=\frac 1 2\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\frac 1 2\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\frac 1 2\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\mathbf{k} \end{aligned}$$ 若$\pmb\omega=\mathbf{0}$，则为无旋流动，否则为有旋流动

• 变形速率

  $$\varepsilon_{ij}=\frac 1 2\left(\frac{\partial v_i}{\partial j}+\frac{\partial v_j}{\partial i}\right)$$ 则体积膨胀速率 $$\dot V=\mathrm{div}\:\pmb v=\pmb\nabla\cdot\pmb v=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$$ 则可得不可压缩流体的连续性方程 $$\pmb\nabla\cdot\pmb v=0$$

流体的流动与阻力

圆管中流体的雷诺数

$$Re=\frac{\rho u_m D}{\mu}\propto\frac{惯性力}{粘性力}$$ 其中$u_m$为平均速度。雷诺数越小流体脉动越小： $$Re\left\{ \begin{aligned} &<2300& 层流\\ &2300\sim4000& 过渡流\\ &>4000& 湍流 \end{aligned} \right. \quad另一说法\quad Re\left\{ \begin{aligned} &<2320& 层流\\ &2320\sim13000& 过渡流\\ &>13000& 湍流 \end{aligned} \right.$$

• 层流：远离进口的管道截面上速度分布为抛物线形，$u=u_\max\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right),u_\max=\frac{pR^2}{4\mu l}=2u_m$，其中$p$为进口压力，$l$为管长
• 湍流：流体微团大尺度随机脉动，速度分布近似圆台，经验上$u=u_{\max}(\frac {R-r} R)^{1/n},u_\max\approx1.25u_m$，$n$随雷诺数增加而增加

对于非圆管中的流动，将$D$替换为等效水力半径$R$：

$$R=\frac{流体有效截面积}{与流体接触的固体周长}$$ 固壁边界对流体流动产生阻力$F_D$，包括正应力产生的形状阻力$F_p$和切应力产生的摩擦阻力$F_f$： $$\begin{aligned} F_D=C_D\frac{\rho u_0^2}{2}A_D\\ F_p=C_p\frac{\rho u_0^2}{2}A_D\\ F_f=C_f\frac{\rho u_0^2}{2}A_f \end{aligned}$$ 其中$C_D,C_p,C_f$为流体雷诺数的函数，$A_D$为来流方向的投影面积，$A_f$为摩擦表面积。几种常见情况：

• 平壁：$F_p=0$，则壁面平均切应力

  $$\tau_0=C_f\frac{\rho u_0^2}{2}$$

• 圆管：$F_p=0$，令流动摩擦系数$\lambda=4C_f$，则

  $$\tau_0=\frac{\lambda\rho u_m^2}{8}$$ 则对于圆管内的充分发展流动，压降公式为 $$\Delta p=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho u_m^2}{2}$$ 而流动摩擦系数有经验公式 $$\lambda=\left\{ \begin{aligned} &\frac{64}{Re} &Re<2300\\ &\frac{0.3164}{\sqrt[4]{Re}} &4000<Re<10^5 \end{aligned} \right.$$

流体静力学

作用在流体上的力可分为质量力（重力、惯性力、惯性离心力）和表面力。记单位质量力（即体积力加速度）为$\pmb f$，则体积为$V$的流体上的总质量力为

$$\pmb F_m=\iiint_V\rho \pmb f\:\mathrm d V$$ 记单位表面力为$\pmb p_n=\pmb \sigma_n+\pmb \tau_n$，则总表面力为 $$\pmb F_A=\iint_A \pmb p_n\:\mathrm d A$$ 对于流体，表面正应力总是压应力。

对于静止流体，单位体积的质量力等于流体静压力的梯度，即流体静力平衡方程：

$$\rho \pmb f=\pmb\nabla p$$ 由此可知静流体中$\pmb f$处处垂直于等压面。只考虑重力场的话，即为欧拉方程： $$\rho\pmb g=\pmb\nabla p$$

重力场流体静力学

重力场中，自由液面压强为$p_0$，则深度为$h$处的液体压强为

$$p=p_0+\rho gh$$ 对于静流体中任意壁面，其水平受力等于其竖直方向投影的受力： $$F_x=p_aA+\rho g\int_0^Hhw\:\mathrm d h$$ 其竖直受力等于其上自由液面压力与液体重力之和。其总力矩为 $$\pmb M=-\iint_Ap\pmb r\times\mathrm{d}\pmb A$$ 浸没物体所受浮力满足阿基米德定律：$F=\rho gV$

流体流动的守恒原理

拉格朗日法面向确定物质组成的系统，而欧拉法面向确定空间位置的控制体。系统更有物理意义，因此要考虑如何用控制体中的物理量变化表示系统的守恒关系，通式为：

$$输出控制体的物理量流量-输入控制体的物理量流量+控制体内物理量变化率=系统物理量变化率$$ 以下是几种守恒关系的积分表式：

守恒关系	通式	稳态简式
质量守恒	$\iint_{\rm cs}\rho(\pmb u\cdot\mathrm d\pmb A)++\frac{\mathrm d m_{\rm cv}}{\mathrm d t}=0$	$q_{mo}-q_{mi}=0$
动量守恒	$\sum \pmb F=\iint_{\rm cs}\rho\pmb u(\pmb u\cdot\mathrm d\pmb A)+\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\iiint_{\rm cv}\rho\pmb u \:\mathrm dV$	$\sum \pmb F=(\pmb v_o -\pmb v_i)q_{m}$
动量矩守恒	$\sum \pmb M=\iint_{\rm cs}\rho(\pmb r\times\pmb u)(\pmb u\cdot\mathrm d\pmb A)+\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\iiint_{\rm cv}\rho(\pmb r\times\pmb u) \:\mathrm d V$	（二维）$\sum M_z=(r_i v_i\sin\alpha_i-r_o v_o\sin\alpha_o)q_m$
能量守恒	$\dot Q-\dot W=\iint_{\rm cs}e\rho(\pmb u\cdot\mathrm d A)+\frac{\mathrm d E_{\rm cv}}{\mathrm d t}\\E_{\rm cv}=\iiint_{\rm cv}\rho(u+\frac{u^2}{2}+gz)\:\mathrm dV$	伯努利方程

伯努利方程的适用条件为：无热量传递，无轴功输出，不可压缩理想流体的稳态流动。

$$\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g h+p=C\Leftrightarrow\rho v\:\mathrm{d}v+\rho g\:\mathrm{d}h+\mathrm{d}p=0$$ 将管道截面上的速度分布视为均一可得 $$\frac{\rho Q^2}{2A^2}+\rho g h+p=C$$

应用伯努利方程分析文丘里管，可得

$$Q=\beta \frac{A_1A_2}{A_1-A_2}\sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho}}=\beta \frac{A_1A_2}{A_1-A_2}\sqrt{\frac{2\rho_0g\Delta h_0}{\rho}}$$ 其中$\beta$为粘性修正，$\rho_0,\Delta h_0$为计量管液的密度和高度差

不可压缩流体的一维层流

流体速度沿$x$方向，且仅在$y$方向有变化，即$\pmb u=u_x(y)\mathbf i$。对微元分析，可知$\rho=C,u_1=u_2,\sum F_x=0,\sum F_y=0$，即微元体所受质量力与表面力之和为0,。且微元表面法向力只有压力，没有附加粘性力，$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}=0$。

斜面下降流分析

在倾角为$\theta$的斜面上有着厚度为$\delta$的稳定薄层流，设斜面表面方向为$z$，则在垂直$z$向的界面上速度分布为

$$v_z=\frac{\rho g \delta^2\sin\theta}{2\eta}\left[1-\left(\frac{x}{\delta}\right)^2\right]$$ 平均流速$\bar v_z=\frac 2 3 v_{z\max}$。

狭缝流动分析

若粘度恒定，对于长 $L$，宽$D$，倾角为$\beta$的狭缝，速度分布为

$$\begin{aligned} &u=-\frac{\Delta p^*y^2}{2\mu L}+\frac{C_1 y}{\mu}+C_2\\ &包括抛物线形的压差流-\frac{\Delta p^*y^2}{2\mu L}+\frac{D\Delta p^* y}{2\mu L}\\ &和线性形的剪切流 \end{aligned}$$ 其中$C_1,C_2$由上下表面剪切情况确定（固壁界面相对速度为0），而修正压力降$\Delta p^*=p_1-p_2+\rho g L\cos\beta$，为狭缝两端压降扣除液柱重力后的实际摩擦压降。

单纯压力管流分析

类似的，可得

类型	速度分布	最大速度位置
通式	$u=-\frac{\Delta p^* r^2}{4\mu L}+\frac{C_1}{\mu}\ln r+C_2$	-
圆管（半径$R$）	$u=\frac{\Delta p^* (R^2-r^2)}{4\mu L}$	$r_0=0$
圆套管（内径$R_1$外径$R_2$）	$u=\frac{\Delta p^*(R_2^2\ln\frac{r}{R_1}+R_1^2\ln\frac{R_2}{r}-r^2\ln\frac{R_2}{R_1})}{4\mu L\ln\frac{R_2}{R_1}}$	$r_0=\sqrt{\frac{R_2^2-R_1^2}{2\ln\frac{R_2}{R_1}}}$

两同轴旋转圆筒套中的层流

外筒半径$R_2$，转速$\omega_2$；内筒半径$R_1$，转速$\omega_1$。可简化的认为流体仅沿$\theta$方向流动，忽略重力影响，则

$$u_\theta=\frac{(R_2^2\omega_2-R_1^2\omega_1)r^2+R_1^2R_2^2(\omega_1-\omega_2)}{(R_2^2-R_1^2)r}$$

流体流动微分方程

类似于塑性力学中的分析， 结合连续性方程、以应力表示的运动方程、牛顿流体的本构方程可得到粘性流体运动微分方程——耐维-斯托克斯方程，在不可压缩常粘度条件下可表示为：

$$\frac{\mathrm D\pmb u}{\mathrm D t}=\pmb f-\frac{1}{\rho}\left[\pmb \nabla p+\mu\pmb\nabla^2\pmb u+\frac{\mu}{3}\pmb\nabla(\pmb \nabla\cdot\pmb u)\right]$$ 引入广义物理量$\phi$、广义粘度$\Gamma$、广义源项$S$，又可以写为

$$\underbrace{\vphantom{\frac()}\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}}_{\text{瞬态项}} +\underbrace{\vphantom{\frac()}\mathrm{div}(\rho\pmb u \phi)}_{\text{对流项}} =\underbrace{\vphantom{\frac()}\mathrm{div}(\Gamma\,\mathrm{grad}\,\phi)}_{\text{扩散项}} +\underbrace{\vphantom{\frac()}S}_{\text{源项}}$$

该式可表示各种守恒关系：

守恒关系	广义物理量含义	方程
质量守恒/连续性方程	$\phi=1,\ S=0$	$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho \pmb u)=0$
动量守恒	$\phi=\pmb u,\ \Gamma=\mu,\ S=\rho\pmb f-\pmb\nabla p$	$\frac{\partial (\rho u_i)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\pmb u u_i)=\mathrm{div}(\mu\,\mathrm{grad}\,u_i)+\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}$
能量守恒	$\phi=T,\ \Gamma=\frac{\lambda}{c_p},\ S=\frac{\partial Q}{\partial t}$	$\frac{\partial (\rho T)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\pmb u T)=\mathrm{div}(\frac{\lambda}{c_p}\,\mathrm{grad}\,T)+\frac{\partial Q}{\partial t}$

不可压缩流体管内流动

雷诺数较高时，由层流转变为湍流，湍流瞬时速度$u=\bar u+u'$可认为是时均速度与随机脉动量的叠加。对于湍流一般采用半经验理论，将基于N-S方程进行时均化得到的雷诺方程与原N-S方程比较，可得到6个雷诺应力，其形式为$-\rho\overline{v_i'v_j'}$，反映了湍流脉动对平均运动的附加影响。

采用普朗特混和长度理论，可将雷诺应力表示为

$$(\tau_{yx})_T=-\rho\overline{u'v'}=\rho l^2\left(\frac{\mathrm d \overline{u}}{\mathrm d y}\right)^2$$ 管内的流体可分为三个区域：近壁粘性底层、过渡区、湍流核心区。湍流核心区速度分布经验式为： $$\overline{u}=8.74u^*\left(\frac{R-r}{y^*}\right)^{1/7}$$ 圆管阻力系数与流体雷诺数、壁面粗糙度有关，可从莫迪图上查到，而局部阻力可根据其类型确定其局部阻力系数进行换算。

流体在经过进口段之后才能成为充分发展流动，对于层流可认为进口段长度$L_e=100D$，对于湍流$L_e=50D$。进口段的阻力更大。

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剩下的不学了Orz