传热学
工程热力学专注研究平衡态系统，传热学则研究有温差存在时的热能传递；因而热力学中常用的单位都不带时间，而传热学中的物理量基本以时间为分母。
嗯，总之就是要学。
传热方式
三种传热方式及其研究：
热传导
研究重点：固体传热
基本定律：傅立叶定律（导热基本定律） \[ \pmb q = -\lambda\pmb\nabla T \] 其中热流密度\(\pmb q\)为单位时间通过单位面积的热量，单位\(\mathrm{W\cdot m^{-2}}\)，热导率是一种热物性参数，单位为\(\mathrm{W\cdot (m\cdot K)^{-1}}\)。
热对流
研究重点：流固之间的传热，即对流传热
基本定律：牛顿冷却公式 \[ q=h\Delta T \] 其中\(h\)为表面换热系数，单位\(\mathrm{W\cdot (m^2\cdot K)^{-1}}\)。\(h\)与许多因素相关，包括流体的物性（\(\lambda, \eta, \rho, c_p\)）、换热面形状和流速，很难确定。
热辐射
研究重点：黑体辐射
基本定律：黑体辐射的斯特藩-玻尔兹曼公式： \[ \Phi= A \sigma T^4 \] 其中热流量\(\Phi\)为单位时间通过的热量，斯特藩-玻尔兹曼常数\(\sigma=\frac{\pi^3k^4}{30c^2\hbar^3}\)。但辐射传热不仅与辐射放热有关，也与吸收相关。
稳态热传导
导热微分方程
傅立叶定律： \[ \Phi=-\lambda A\frac{\partial T}{\partial x}\ \Leftrightarrow\ \pmb q=-\lambda \pmb \nabla T \] 类似于电阻，可定义热阻\(R=-\frac{\Delta T}{\Phi}\)，其决定式为\(R=\frac{L}{kA}\)。
根据傅立叶定律，可以得出导热微分方程。一般认为微元密度和比热容不随时间变化，则表达式为： \[ \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\mathrm{div}(\lambda \ \mathrm{grad}\ T)+\dot{\Phi} \] 其中\(\rho\)为密度，\(c_p\)为等容比热容，\(\dot\Phi\)为微元内热源的生成热，即源项。可见，以温度为变量的N-S方程在流体静止状态下即退化为传热微分方程。
两种简化：
导热系数为常数，无源项时： \[ \frac{\partial T}{\partial t}=a\nabla^2T \] 其中\(a=\frac{\lambda}{\rho c_p}\)称为热扩散率。
导热系数为常数，稳态下： \[ \nabla^2T+\frac{\dot\Phi}{\lambda}=0 \]
导热微分方程有三种定解条件：
- 第一类：规定边界温度，即\(T_w=f(t)\)
- 第二类：规定边界热流密度，即\(-\lambda(\pmb\nabla T|_w)=f(t)\pmb n\)
- 第三类：规定边界与周围介质的换热系数以及周围介质的温度，即\(-\lambda(\pmb\nabla T|_w)=h(t)(T_w-T_f(t))\pmb n\)
第一类条件的一维稳态导热问题
单层平壁：厚度为\(\delta\)，\(T(0)=T_1,T(\delta)=T_2\)，则温度分布与热流密度为 \[ T=\frac{T_2-T_1}{\delta}x+T_1,\quad q=\frac{\lambda}{\delta}\Delta T \] 对于多层平壁，则是热阻串联，温度分布为分段线性函数。
圆筒壁：内径\(r_1\)，外径\(r_2\)，\(T(r_1)=T_1,T(r_2)=T_2\)，则温度分布为 \[ T=T_1+\frac{T_2-T_1}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}\ln\left(\frac{r}{r_1}\right),\quad q=\frac{\lambda}{r}\frac{T_1-T_2}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)} \] 圆筒壁热阻为\(R=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\lambda l}\)
球壳：类似的 \[ T=T_2+\frac{T_1-T_2}{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right),\quad R=\frac{1}{4\pi\lambda}\left(\frac 1 r-\frac{1}{r_2}\right) \]
肋片导热
肋片是一种增大换热面积的有效方法。考虑等截面直肋，有以下条件和简化假设：
- 肋片根部温度\(T(0)=T_0\)，环境温度\(T_\infty\)
- 导热系数\(\lambda\)，表面换热系数\(h\)均匀，横截面积\(A_c\)，周长\(P\)
- 肋片温度在垂直于纸面方向不变，由于表面换热热阻远大于内部导热热阻，因而温度在宽度方向也不变
- 肋片顶端绝热，即边界条件\(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}|_H=0\)
将肋片侧面散热当作源项，则可以可以视为一维传热问题，导热方程为 \[ \frac{\mathrm{d^2}T}{\mathrm{d}x^2}=\frac{hP(T-T_\infty)}{\lambda A_c} \] 解得 \[ T=\frac{\cosh[m(x-H)]}{\cosh(mH)}(T_0-T_\infty)+T_\infty,\quad\mathrm{where}\ \ m=\sqrt{\frac{hP}{\lambda A_c}} \] 则从肋片散失的总热量为\(\Phi_{x=0}=\frac{hP}{m}\tanh(mH)(T_0-T_\infty)\)
非稳态热传导
毕渥数
非稳态传热最常见的情况是\(t=0\)时温度均匀，边界条件为第三类，这种情况下需要考虑导热热阻\(\frac l\lambda\)与表面换热热阻\(\frac 1h\)之比，即毕渥数\(Bi=\frac{lh}{\lambda}\)。其中\(l\)为特征长度，对于平板取半板厚。
- \(Bi\to\infty\)：表面换热热阻很小，因而表面温度迅速降到环境温度，内部温度逐渐下降
- \(Bi\to0\)：导热热阻很小，整体温度均匀，随时间整体下降
- \(Bi\)有限：过渡状态
零维非稳态导热与集中参数法
当\(Bi\to0\)时（工程中一般是\(Bi<0.1\)），固体内温度均匀，可认为温度仅是时间的函数，即将质量、热容汇集到一个点上，成为零维物体，这就是集中参数法。
设任意形状的满足集中参数法条件的固体，体积为\(V\)，表面积为\(A\)，初始温度为\(T_0\)，突然置于\(T_\infty\)的环境中，表面换热系数\(h\)为常数，则导热方程的解为： \[ \frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}=\exp\left(-\frac{hA}{\rho c_pV}t\right),\quad \Phi=(T_o-T_\infty)hA\exp\left(-\frac{hA}{\rho c_pV}t\right) \] 若定义特征长度\(l_c=\frac VA\)，傅里叶数\(Fo=\frac{at}{l_c^2}\)（无量纲时间，表示从物体表面发生热扰动时刻至计算时间为止的时间间隔），过余温度\(\theta=T-T_\infty\)，则 \[ \frac{\theta}{\theta_0}=\exp(-Bi\,\cdot\,Fo) \] 该降温过程的时间常数\(t_c=\frac{\rho c_pV}{hA}\)，经过一个时间常数，过余温度下降到初始过余温度的36.8%. 从开始到热平衡状态，总传热量\(Q_0=\rho c_p V(T_0-T_\infty)\).
一维非稳态导热
以平板为例，厚\(2\delta\)，第三类边界条件，两侧对称受热，则利用分离变量法可以求出 \[ \frac{\theta}{\theta_0}=\sum_{n=1}^\infty\frac{4\sin\mu_n}{2\mu_n+\sin 2\mu_n}\exp(-\mu_n^2Fo)\cos(\mu_n\cdot\frac{x}{\delta}) \] 其中\(\mu_n\)是方程\(\mu_n\tan\mu_n=Bi\)的根。
无穷级数是为了满足初始条件而引入的，当传热趋于稳定，初始条件的影响基本消失（即正规状况阶段），可简化为： \[ \frac{\theta}{\theta_0}=\frac{4\sin\mu_1}{2\mu_1+\sin 2\mu_1}\exp(-\mu_1^2Fo)\cos(\mu_1\cdot\frac{x}{\delta}) \] 注意此时时间与位置参数是可分离的。可见\(Bi\to0\)时变为集中参数问题，\(Bi\to\infty\)时变为第一类边界条件问题。
对于一维半无限大物体，也可以得出解析解，在第一类边界条件下： \[ \frac{T-T_{\infty}}{T_0-T_{\infty}}=\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right),\quad q=\lambda\frac{T_w-T_0}{\sqrt{\pi at}}\exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right) \]
简单形状的多维非稳态导热
定义无量纲温度\(\Theta=\frac{\theta}{\theta_0}\)，则对于温度在长度方向不变的方形柱体、短圆柱体、长方体等简单固体，无量纲温度场等于各几何方向的一维分析解之积： \[ \Theta=\frac{\theta(x,y,z,t)}{\theta_0}=\Theta_{p1}(x,t)\cdot\Theta_{p2}(y,t)\cdot\Theta_{p3}(z,t) \] 总传热百分数也具有类似关系： \[ \frac{Q}{Q_0}=\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_1+\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_2+\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_3-\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_1\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_2-\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_2\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_3-\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_3\left.\frac{Q}{Q_0}\right|_1 \]
金属凝固传热
可以利用等效比热法将凝固潜热化归到比热中 \[ c_{\mathit{eff}}=\bar c+\frac{L_I}{\Delta T} \] 凝固时的热量传输受多个热阻层控制（液态金属层热阻、凝固金属层热阻、间隙热阻、铸型热阻），可以根据主要控制因素进行分类。
- 铸型热阻控制。假设金属无过热，首先把液态金属作为环境，铸型作为半无限大平板，则可得铸型温度场以及界面热流。则界面热流与凝固潜热相等，从而可得凝固速度与凝固厚度： \[ M=\frac{2}{\pi}\frac{T_M-T_0}{\rho_sL}\sqrt{}=C\sqrt{t} \] 折算厚度\(\frac{V}{F}\)越大则凝固越慢
热传导数值模拟
可以使用有限差分法、有限元法、有限体积法。一般固体使用有限元法，流体使用有限体积法，而二者之间的耦合则是流固耦合运算中的重要问题。
网格毕渥数\(Bi_\Delta=\frac{h\Delta x}{\lambda}\)，网格傅里叶数\(Fo_\Delta=\frac{a\Delta t}{\Delta x^2}\)，对于一维问题，得出合理解的条件为 \[ Fo_\Delta\le\frac{1}{2+2Bi_\Delta} \]
对流传热基础
关键是把表面换热系数和流体流速联系起来 \[ \frac{\partial (\rho T)}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\pmb u T)=\mathrm{div}(\frac{\lambda}{c_p}\,\mathrm{grad}\,T)+\frac{\partial Q}{\partial t} \]
温度边界层与速度边界层的厚度没有绝对关系，取决于普朗克数\(Pr=\frac{\nu}{\alpha}\)，表示动量扩散和热扩散能力的相对大小。
则对于圆管，热入口长度 \[ \frac{x_{et}}{d_0}|_\text{层流}\approx0.05Re\cdot Pr \] 在流速完全发展区，流速在\(x\)方向不变，引入 \[ \theta=\frac{T_s(x)-T(x)}{T_s(x)-\overline T(x)} \] 则\(\frac{\partial \theta}{\partial x}=0\)
强制对流换热：流速控制传热；自然对流换热：传热控制流速。
相变对流传热
辐射传热
普朗克黑体辐射定律，辐射率： \[ I_\nu(\nu,T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1} \]
而单色辐射力 \[ E_\nu(\nu,T)=2\pi I_\nu(\nu,T) \] 辐射力 \[ E(T)=\int_0^\infty E_\nu(\nu,T)\:\mathrm{d}\nu \] 物体对于热辐射具有吸收率\(\alpha\)、反射率\(\rho\)、透射率\(\tau\)，\(\alpha+\rho+\tau\equiv1\)。\(\alpha=1\)则为黑体，\(\rho=1\)为镜体（漫反射时为白体），\(\tau=1\)时为透明体。物体的发射率（黑度）\(\varepsilon=\alpha\)。实际物体的\(\alpha\)是\(\nu\)的函数，若\(\alpha\)与\(\nu\)无关则称为灰体。
